Sur les expressions numériques

Sur les expressions numériques

• I Expression sans parenthèses
  • I-1 Avec des additions et des soustractions
  • I-2 Priorité de la multiplication
• II Expression avec parenthèses
• III Simplification d'écriture
• IV Distributivité
  • IV-1 Égalités de la distributivité
  • IV-2 Développer
• V Distributivité et calcul mental

Sur les expressions numériques.

I Expression sans parenthèses

II Expression avec parenthèses

III Simplification d'écriture

IV Distributivité

V Distributivité et calcul mental

I Expression sans parenthèses

• I Expression sans parenthèses
  • I-1 Avec des additions et des soustractions
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• V Distributivité et calcul mental

I-1 Avec des additions et des soustractions

I-2 Priorité de la multiplication

Sur les expressions numériques → I Expression sans parenthèses

I-1 Avec des additions et des soustractions

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  • IV-2 Développer
• V Distributivité et calcul mental

Le but de ce chapitre est de se rappeler les règles essentielles pour calculer des expressions numériques.

Proposition [Enchaînement d'opérations, additions, soustractions]

Dans un enchaînement d'additions et de soustractions sans parenthèses, on effectue les calculs de gauche à droite.

Exemple [Calculons l'expression $A$]

$A$	=	$61.5+32.8+2+51.4$
$A$	=	$94.3+2+51.4$
$A$	=	$96.3+51.4$
$A$	=	$147.7$

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I-2 Priorité de la multiplication

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Proposition [Priorité de la multiplication]

Dans un enchaînement sans parenthèses, d'additions, de soustractions et de multiplications, on commence par effectuer les multiplications.

Exemple [Calculons l'expression $A$]

$A$	=	$128-9\times 9$
$A$	=	$128-81$
$A$	=	$47$

Exemple [Calculons l'expression $A$]

$A$	=	$39\times 10-2\times 11$
$A$	=	$390-22$
$A$	=	$368$

Théorème

La multiplication est prioritaire sur l'addition et sur la soustraction.

Sur les expressions numériques → I Expression sans parenthèses → I-2 Priorité de la multiplication

II Expression avec parenthèses

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  • I-2 Priorité de la multiplication
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• IV Distributivité
  • IV-1 Égalités de la distributivité
  • IV-2 Développer
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Proposition [Priorité des parenthèses]

Pour calculer une expression avec parenthèses, on effectue d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures.

Quelques exemples commentés pour bien comprendre la propriété !

Exemple [Calculons l'expression $A$]

$A$	=	$263-(11+7)\times 8$
$A$	=	$263-18\times 8$
$A$	=	$263-144$
$A$	=	$119$

Remarque

Comme pour le calcul de $A$, lorsqu'on retrouve une expression sans parenthèses, on applique la règle de priorité de la multiplication ;

Exemple [Calculons l'expression $B$]

$B$	=	$2\times (24-(11-1))$
$B$	=	$2\times (24-10)$
$B$	=	$2\times 14$
$B$	=	$28$

Remarque

Comme pour le calcul de $B$, remarquer que l'on commence par les parenthèses les plus intérieures ;

Exemple [Calculons l'expression $C$]

$C$	=	$20-(8-6\times 1)\times 4$
$C$	=	$20-(8-6)\times 4$
$C$	=	$20-(2)\times 4$
$C$	=	$20-8$
$C$	=	$12$

Remarque

Comme pour le calcul de $C$, même à l'intérieur des parenthèses les règles 1 et 2 restent valables.

Sur les expressions numériques → II Expression avec parenthèses

III Simplification d'écriture

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Proposition [Absence du signe de la multiplication]

Le signe de multiplication ( ) peut être supprimé devant une lettre ou devant une parenthèse.

Exemples

1. Le produit $3\times d$ peut s'écrire $3d$ ;
2. le produit $d\times u$ peut s'écrire $du$ ;
3. le produit $9\times (u+3)$ peut s'écrire $9(u+3)$. On dit $9$ facteur de $u+3$ ;
4. le produit $3\times (d-9)$ peut s'écrire $3(d-9)$. On dit $3$ facteur de $d-9$;
5. le produit $d\times d$ peut s'écrire $d^2$. On dit $d$ au carré. De même on a $3\times 3=3^2$ ce qui vaut $9$.

Remarque [Attention]

Le signe est obligatoire lorsque son absence entraîne une confusion. En effet, $3\times 9$ ne s'écrit pas $39$ puisque cela vaut $27$.

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IV Distributivité

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IV-1 Égalités de la distributivité

IV-2 Développer, factoriser

Sur les expressions numériques → IV Distributivité

IV-1 Égalités de la distributivité

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• V Distributivité et calcul mental

Proposition [Distributivité]

Les égalités ci-dessous sont vraies pour tous les nombres $k$, $a$ et $b$. On dit que la multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction.

$\begin{array}{ccc}k(a+b)& =& ka+kb\\ k(a-b)& =& ka-kb\end{array}$

$\begin{array}{ccc}(a+b)k& =& ak+bk\\ (a-b)k& =& ak-bk\end{array}$

Voyons sur quelques exemples comment utiliser ces propriétés.

Exemple [Calculer $A$]

$A$	=	$6\times (18+2)$
$A$	=	$6\times 18+6\times 2$
$A$	=	$108+12$
$A$	=	$120$
$A$	=	$6\times (18+2)$
$A$	=	$6\times 20$
$A$	=	$120$

Exemple [Calculer $B$]

$B$	=	$18\times 11-11\times 11$
$B$	=	$(18-11)\times 11$
$B$	=	$7\times 11$
$B$	=	$77$
$B$	=	$18\times 11-11\times 11$
$B$	=	$198-121$
$B$	=	$77$

0,0

–o+←↓↑→

a = 1.00

b = 4.00

k = 3.00

Un côté du rectangle rouge mesure $a$. Le côté commun avec le rectangle bleu mesure $k$. L'autre côté du rectangle bleu mesure $b$.
Si on détermine l'aire du grand rectangle (formé par les deux rectangles colorés) de deux manières différentes, on démontre l'égalité. On peut considérer que les côtés du grand rectangle sont $k$ et $a+b$.

Sur les expressions numériques → IV Distributivité → IV-1 Égalités de la distributivité

IV-2 Développer, factoriser

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• IV Distributivité
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  • IV-2 Développer
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On peut appliquer les égalités de la distributivité de deux façons :

1. pour développer :
   
   $9\times (19+10)$ = $9\times 19+9\times 10$
2. pour factoriser :
   
   $3\times 9+3\times 2=3\times (9+2)$

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V Distributivité et calcul mental

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• IV Distributivité
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• V Distributivité et calcul mental

Quand on sait bien appliquer les règles de distributivité et de factorisation, on peut les utiliser pour simplifier certains calculs comme le montrent les exemples ci-après.

Exemple [Calculons $A$]

$A$	=	$260\times 13$
$A$	=	$260\times (10+3)$
$A$	=	$260\times 10+260\times 3$
$A$	=	$2600+780$
$A$	=	$3380$

Exemple [Calculons $B$]

$B$	=	$5\times 1398+5\times 1398$
$B$	=	$1398\times (5+5)$
$B$	=	$1398\times 10$
$B$	=	$13980$

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document sur les expressions numériques.
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• Description: document sur les expressions numériques. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
• Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, algebra, expression numérique, calculation, factorization, simplification